Mathématiques discrètes: ce qu'ils servent, théorie des ensembles

Les mathématiques discrètes correspondent à un domaine des mathématiques chargé d'étudier l'ensemble des nombres naturels; c'est-à-dire l'ensemble des nombres dénombrables finis et infinis où les éléments peuvent être comptés séparément, un par un.

Ces ensembles sont appelés ensembles discrets. Un exemple de ces ensembles sont des nombres entiers, des graphiques ou des expressions logiques, et ils sont appliqués dans différents domaines scientifiques, principalement en informatique ou en informatique.

Description

En mathématiques discrètes, les processus sont comptables, basés sur des nombres entiers. Cela signifie que les nombres décimaux ne sont pas utilisés et, par conséquent, l'approximation ou les limites ne sont pas utilisées, comme dans d'autres domaines. Par exemple, une inconnue peut être égale à 5 ou 6, mais jamais 4, 99 ou 5, 9.

D'autre part, dans la représentation graphique, les variables seront discrètes et sont données à partir d'un ensemble fini de points comptés un par un, comme le montre l'image:

Les mathématiques discrètes naissent de la nécessité d'obtenir une étude exacte pouvant être combinée et testée, pour l'appliquer dans différents domaines.

Quelle est l'utilisation des mathématiques discrètes?

Les mathématiques discrètes sont utilisées dans plusieurs domaines. Parmi les principaux sont les suivants:

Combinatoire

Etudiez des ensembles finis où les éléments peuvent être commandés ou combinés et comptés.

Théorie de la distribution discrète

Étudiez les événements qui se produisent dans des espaces où les échantillons peuvent être dénombrables, dans lesquels des distributions continues sont utilisées pour approximer des distributions discrètes, ou inversement.

Théorie de l'information

Il fait référence au codage des informations, utilisé pour la conception, la transmission et le stockage de données, comme par exemple les signaux analogiques.

IT

Grâce à des mathématiques discrètes, les problèmes sont résolus à l'aide d'algorithmes, tout en étudiant ce qui peut être calculé et le temps nécessaire pour le faire (complexité).

L'importance des mathématiques discrètes dans ce domaine a augmenté au cours des dernières décennies, en particulier pour le développement de langages de programmation et de logiciels .

Cryptographie

Il est basé sur des mathématiques discrètes pour créer des structures de sécurité ou des méthodes de cryptage. Un exemple de cette application sont les mots de passe, qui envoient séparément des bits contenant des informations.

Grâce à cette étude, les propriétés des nombres entiers et premiers (théorie des nombres) peuvent créer ou détruire ces méthodes de sécurité.

La logique

Des structures discrètes sont utilisées, qui forment généralement un ensemble fini, afin de prouver des théorèmes ou, par exemple, de vérifier un logiciel.

Théorie des graphes

Il permet la résolution de problèmes logiques, à l'aide de nœuds et de lignes formant un type de graphe, comme indiqué dans l'image suivante:

C'est un domaine étroitement lié aux mathématiques discrètes car les expressions algébriques sont discrètes. Grâce à cela, les circuits électroniques, les processeurs, la programmation (algèbre booléenne) et les bases de données (algèbre relationnelle) sont développés.

La géométrie

Étudiez les propriétés combinatoires d'objets géométriques, tels que le revêtement de l'avion. D'autre part, la géométrie informatique permet de développer des problèmes géométriques en appliquant des algorithmes.

Théorie des ensembles

En mathématiques discrètes, les ensembles (numérotés finis et infinis) constituent l’objectif principal de l’étude. La théorie des ensembles a été publiée par George Cantor, qui a montré que tous les ensembles infinis ont la même taille.

Un ensemble est un groupe d'éléments (nombres, objets, animaux et personnes, entre autres) bien définis; c'est-à-dire qu'il existe une relation selon laquelle chaque élément appartient à un ensemble et est exprimé, par exemple, à ∈ A.

En mathématiques, il existe différents ensembles qui regroupent certains nombres en fonction de leurs caractéristiques. Ainsi, par exemple, vous avez:

- Ensemble de nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- Ensemble d'entiers E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞}.

- Sous-ensemble de nombres rationnels Q * = {-..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ...}.

- Ensemble de nombres réels R = {-..., - ½, -1, 0, ½, 1, ...}.

Les ensembles sont nommés avec des lettres de l'alphabet, en majuscule; tandis que les éléments sont nommés en minuscules, entre accolades ({}) et séparés par des virgules (, ). Ils sont généralement représentés dans des diagrammes tels que Venn et Caroll, ainsi que de manière informatisée.

Avec les opérations de base telles que l'union, l'intersection, le complément, la différence et le produit cartésien, les ensembles et leurs éléments sont gérés en fonction de la relation d'appartenance.

Il existe plusieurs types d'ensembles, les plus étudiés en mathématiques discrètes sont les suivants:

Ensemble fini

C’est celui qui a un nombre fini d’éléments et qui correspond à un nombre naturel. Ainsi, par exemple, A = {1, 2, 3, 4} est un ensemble fini comportant 4 éléments.

Jeu de comptabilité infini

C'est celui dans lequel il y a une correspondance entre les éléments d'un ensemble et les nombres naturels; c'est-à-dire que depuis un élément, tous les éléments d'un ensemble peuvent être listés successivement.

De cette façon, chaque élément correspondra à chaque élément de l'ensemble des nombres naturels. Par exemple:

L'ensemble des entiers Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} peut être répertorié comme Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...}. De cette façon, il est possible de faire une correspondance un à un entre les éléments de Z et les nombres naturels, comme indiqué dans l'image suivante:

C'est une méthode utilisée pour résoudre des problèmes continus (modèles et équations) qui doivent être convertis en problèmes discrets, dans lesquels la solution est connue avec l'approximation de la solution du problème continu.

Vu sous un autre angle, la discrétisation tente d'extraire une quantité finie d'un ensemble infini de points; de cette manière, une unité continue est transformée en unités individuelles.

Généralement, cette méthode est utilisée en analyse numérique, comme par exemple dans la résolution d'une équation différentielle, au moyen d'une fonction représentée par une quantité finie de données dans son domaine, même si elle est continue.

Un autre exemple de discrétisation est son utilisation pour convertir un signal analogique en signal numérique, lorsque des unités de signal continues sont converties en unités individuelles (elles sont discrétisées), puis codées et quantifiées pour obtenir un signal numérique.