Principe multiplicatif: techniques de comptage et exemples

Le principe multiplicatif est une technique utilisée pour résoudre des problèmes de comptage afin de trouver la solution sans qu'il soit nécessaire d'en lister les éléments. Il est également connu comme le principe fondamental de l'analyse combinatoire; il est basé sur une multiplication successive pour déterminer la manière dont un événement peut se produire.

Ce principe stipule que, si une décision (d 1 ) peut être prise de n manières et une autre décision (d 2 ) peut être prise de plusieurs façons, le nombre total de façons dont les décisions peuvent être prises d 1 et d 2 sera égal à multiplier de n * m. Selon le principe, chaque décision est prise l'une après l'autre: nombre de voies = N 1 * N 2 ... * N x voies.

Des exemples

Exemple 1

Paula envisage d'aller au cinéma avec ses amis et de choisir les vêtements qu'elle portera, je sépare 3 chemisiers et 2 jupes. Paula peut s'habiller de combien de façons?

La solution

Dans ce cas, Paula doit prendre deux décisions:

d 1 = choix entre 3 chemisiers = n

d 2 = choisir entre 2 jupes = m

De cette façon, Paula n'a pas à prendre de décision ou à adopter différentes manières de s'habiller.

n * m = 3 * 2 = 6 décisions.

Le principe de multiplication provient de la technique du diagramme en arborescence, qui relie tous les résultats possibles, de sorte que chacun puisse se produire un nombre fini de fois.

Exemple 2

Mario avait très soif, il est donc allé acheter un jus à la boulangerie. Luis lui répond et lui dit qu'il a deux tailles: grande et petite; et quatre saveurs: pomme, orange, citron et raisin. De combien de façons Mario peut-il choisir le jus?

La solution

Dans le diagramme, on peut voir que Mario a 8 manières différentes de choisir le jus et que, comme dans le principe multiplicatif, ce résultat est obtenu par la multiplication de n * m. La seule différence est que, grâce à ce diagramme, vous pouvez savoir comment Mario choisit le jus.

D'autre part, lorsque le nombre de résultats possibles est très grand, il est plus pratique d'utiliser le principe multiplicatif.

Techniques de comptage

Les techniques de comptage sont des méthodes utilisées pour effectuer un comptage direct et ainsi connaître le nombre d'arrangements possibles que peuvent avoir les éléments d'un ensemble donné. Ces techniques reposent sur plusieurs principes:

Principe d'addition

Ce principe stipule que, si deux événements m et n ne peuvent pas se produire simultanément, le nombre de façons dont le premier ou le deuxième événement peut se produire sera la somme de m + n:

Nombre de formes = m + n ... + x formes différentes.

Exemple

Antonio veut faire un voyage mais ne décide pas à quelle destination; à la South Tourism Agency, ils vous proposent une promotion pour voyager à New York ou à Las Vegas, tandis que la East Tourism Agency vous recommande de voyager en France, en Italie ou en Espagne. Combien de solutions de voyage différentes Antonio vous propose-t-il?

La solution

Avec l’agence de tourisme sud, Antonio dispose de 2 possibilités (New York ou Las Vegas), tandis que de l’agence de tourisme est propose 3 options (France, Italie ou Espagne). Le nombre d'alternatives différentes est:

Nombre d'alternatives = m + n = 2 + 3 = 5 alternatives.

Principe de permutation

Il s’agit de commander spécifiquement tout ou partie des éléments composant un ensemble, afin de faciliter le comptage de tous les arrangements possibles pouvant être réalisés avec les éléments.

Le nombre de permutations de n éléments différents, pris tous à la fois, est représenté par:

n P n = n!

Exemple

Quatre amis veulent prendre une photo et savoir combien de formulaires différents peuvent être commandés.

La solution

Vous voulez connaître l’ensemble des moyens possibles par lesquels les 4 personnes peuvent être placées pour prendre la photo. Donc, vous devez:

4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 formes différentes.

Si le nombre de permutations de n éléments disponibles est pris par des parties d'un ensemble formé de r éléments, il est représenté par:

n P r = n! (N - r)!

Exemple

Dans une salle de classe, il y a 10 positions. Si 4 étudiants assistent à la classe, de combien de façons différentes les étudiants peuvent-ils occuper les postes?

La solution

Le nombre total de chaises est de 10, et seules 4 seront utilisées. La formule donnée est appliquée pour déterminer le nombre de permutations:

n P r = n! (N - r)!

10 P 4 = 10! (10 - 4)!

10 P 4 = 10! ÷ 6!

10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 façons de pourvoir les postes.

Il existe des cas dans lesquels certains des éléments disponibles d'un ensemble sont répétés (ils sont identiques). Pour calculer le nombre d'arrangements prenant tous les éléments en même temps, on utilise la formule suivante:

n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !

Exemple

Combien de mots différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot "loup"?

La solution

Dans ce cas, nous avons 4 éléments (lettres) dont deux sont exactement les mêmes. En appliquant la formule donnée, nous savons combien de mots différents sont:

n P r = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !

4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!

4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) (2 * 1) * 1 * 1

4 P 2, 1, 1 = 24 2 = 12 mots différents.

Principe de combinaison

Il s’agit de corriger tout ou partie des éléments qui forment un ensemble sans ordre spécifique. Par exemple, si vous avez un tableau XYZ, il sera identique aux tableaux ZXY, YZX, ZYX, entre autres; En effet, même s'ils ne sont pas dans le même ordre, les éléments de chaque arrangement sont les mêmes.

Lorsque quelques éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de combinaison est donné par la formule suivante:

n C r = n! (N - r)! R!

Exemple

Dans un magasin, ils vendent 5 types de chocolat différents. Combien de façons différentes pouvez-vous choisir 4 chocolats?

La solution

Dans ce cas, vous devez choisir 4 chocolats des 5 types vendus dans le magasin. L'ordre dans lequel ils sont choisis n'a pas d'importance et, en plus, un type de chocolat peut être choisi plus de deux fois. En appliquant la formule, vous devez:

n C r = n! (N - r)! R!

5 C 4 = 5! (5 - 4)! 4!

5 C 4 = 5! (1)! 4!

5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 4 * 3 * 2 * 1

5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 façons différentes de choisir 4 chocolats.

Lorsque tous les éléments (r) de l'ensemble (n) sont pris, le principe de combinaison est donné par la formule suivante:

n C n = n!

Exercices résolus

Exercice 1

Vous avez une équipe de baseball avec 14 membres. De combien de façons peut-on attribuer 5 positions à une partie?

La solution

L'ensemble est composé de 14 éléments et vous souhaitez attribuer 5 positions spécifiques; c'est-à-dire que l'ordre compte. La formule de permutation est appliquée où n éléments disponibles sont pris par des parties d'un ensemble formé par r.

n P r = n! (N - r)!

Où n = 14 et r = 5. Il est substitué dans la formule:

14 P 5 = 14! (14 - 5)!

14 P 5 = 14! (9)!

14 P 5 = 240 240 façons d’attribuer les 9 positions du jeu.

Exercice 2

Si une famille de 9 membres part en voyage et achète ses billets avec des sièges consécutifs, de combien de façons différentes peuvent-ils s'asseoir?

La solution

Il est composé de 9 éléments qui occuperont 9 sièges consécutifs.

P 9 = 9!

P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 façons différentes de s'asseoir.